Estimar valores de concentración a partir de una ecuación cuadrática

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 Algunos métodos espectrofotométricos se ajustan mejor a modelos de regresión no lineales (polinómicos, logaritmicos). Cuando esto sucede aparecen los limitantes, puesto que la literatura siempre hace alusión a la regresión lineal.

Despues de revisar e investigar ¿cómo estimar valores a partir de una ecuación cuadrática? pero sin necesidad de utilizar la opción objetivo o la potente herramienta solver; ello demando algun tiempo hasta que apareció la primera parte de la solución. El buen blog de Adolfo Aparicio exhibió una nota detallada acerca de la estimación de cada parámetro de la regresión polinómica en celdas independientes; que en últimas es el punto de partida para despejar la variable concentración. Lo anterior me animó a escribir esta nota.....

 

 

1. Lo primero que se debe tener es una serie de datos para correlacionar; en este caso se utilizan las lecturas de estándares de sulfatos.

2. Estimar los parámetros de la regresión polinómica de segundo grado usando la función:

= ESTIMACION.LINEAL(conocido y; conocido x; [constante]; [estadística]) conocido y: es una referencia a un rango que contiene valores dependientes. conocido x: es una referencia a un rango que contiene valores independientes. constante: es un valor lógico opcional, si es VERDADERO u omitido la función calcula el valor del término independiente, si es FALSO el termino independiente es cero. estadística: es un valor lógico opcional, indica si se calcula o no las estadísticas de regresión adicionales.

3. Es preciso mencionar que esta función se debe usar de manera matricial(combinando las teclas Control+shift+enter). Lo que sugiere que la referencia del rango es absoluta; salvo si se incluye un rango dinámico para resolver esta limitante  {=ESTIMACION.LINEAL(my;mx^{1\2})}

Al aplicar la función anterior, lo que se consigue es tener cada coeficiente de la ecuación en celdas independientes, así:

Nota: para ejecutarla es preciso señalar las celdas en donde se espera que aparezcan los coeficientes antes de aplicarla.

Los coeficientes también se pueden obtener a partir del gráfico que ofrece Excel(véase la nota acerca de curva de calibración); pero si lo que queremos es dinamizar el proceso de cálculo, no parece ser la mejor opción.............

De lo anterior se debe mencionar que my y mx corresponden a los nombres de los rangos dinámicos de concentración del patrón (x) y señal obtenida (y) respectivamente. Para recordar algunos conceptos acerca del tema de nombres de celdas y rangos, véase la nota : asignar nombres a celdas y rangos.

4. Ahora que ya hemos obtenido nuestra ecuación, se presenta un interrogante. ¿Cómo calcular una concentración desconocida si tengo un valor de absorbancia? en otras palabras, ¿cómo despejar la variable X si tengo la variable Y?.

Pues bien, lo que haremos es obtener las raíces mediante la expresión:

El truco consiste en igualar a cero la ecuación para poder aplicar la expresión anterior.

Ejemplo: si tenemos una absorbancia igual a 0.2334, es decir Y, igualo la ecuación a cero:

Lo demás es parte de la imaginación de cada usuario para calcular de manera automática cualquier concentración a partir de una determinada absorbancia.

Nota: la expresión (b^2-4ac) se llama discriminante, y determina los tipos de respuesta que se pueden generar: si es positivo, hay dos soluciones, si es cero sólo hay una solución, y si es negativo hay soluciones imaginarias. Véase el solucionador de ecuaciones en el sitio disfruta las matemáticas.

Aquí un resumen de la información que se puede obtener de la aplicación:

En nuestro caso nos interesa sólo la solución positiva, puesto que en el ámbito de la química analítica las concentraciones negativas no tienen sentido.

Volviendo a Excel, podemos obtener la misma respuesta: